About

TRI RAHMAH SILVIANI | 15709251035 | PMat A | UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Minggu, 09 September 2018

Minggu, 28 Februari 2016

STRUKTUR PEMIKIRAN PHYTAGORAS “TEOREMA PHYTAGORAS”



STRUKTUR PEMIKIRAN PHYTAGORAS
“TEOREMA PHYTAGORAS”
Tri Rahmah Silviani | 15709251035
Senin, 22 Februari 2016
Ruang 102 Gedung Lama Pascasarjana.
Dosen Pengampu: Prof. Dr. Marsigit, MA

Assalamualaikum warrahmatullahi wabarakatuh
A.    Sejarah Teorema Phytagoras
 Phytagoras merupakan salah satu filsuf dan matematikawan Yunani, Ia berpendapat bahwa segala sesuatu yang ada dialam ini merupakan bilangan maka Ia dikenal sebagai “Bapak Bilangan”. Phytagoras banyak memberikan sumbangsi pemikiran yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Phytagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Dua filsuf yang memberikan pengaruh terhadap pemikiran Phytagoras dan memperkenalkannya kepada ide-ide matematika yaitu Thales dan muridnya, Anaximander. Pandangan Phytagoras bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dalam hubungan yang proporsional dan teratur. Semasa kecil, Phytagoras pernah menyusun kerikil dalam bentuk segi-tiga dengan jumlah kerikil yang berbeda namun berurutan, yaitu:
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Dengan menjumlahkan 2 angka yang bersebelahan akan ditemukan hasil suatu bilangan yang dikuadratkan, seperti:
1 + 3 = 4 (2 x 2)
3 + 6 = 9 (3 x 3)
6 + 10 = 16 (4 x 4)
10 + 15 = 25 (5 x 5)
15 + 21 = 36 (6 x 6)
Penyusunan kerikil ini ternyata memicu terjadinya rumus Phytagoras yang sering disebut dengan Teorema Phytagoras yaitu: a2 + b2 = c2, dimana a dan b mewakili sisi-sisi siku-sikunya dan c merupakan hipotenusanya. Teorema ini menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Pada dasarnya teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Phytagoras, namun teorema ini dikenal sebagai temuan Phytagoras karena beliaulah yang pertama membuktikan teorema ini secara matematis.
Angka nol tidak dikenal dalam kamus Yunani, menggunakan angka nol berarti melanggar hukum alam bagi orang-orang Yunani. Angka nol jika dibagi dengan suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Phytagoras juga tidak dapat memecahkan problem  dari konsep matematika yaitu bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk teorema Phytagoras a2 + b2 = c2. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1 merupakan bilangan irasional, Phytagoras memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.
B.     Bukti Teorema Phytagoras
1.      Pembuktian Teorema Phytagoras dari Bhaskara
Pembuktian teorema pythagoras ini merupakan hasil karya ilmuwan India yaitu Bhaskara, adapun penjelesan Bhaskara sebagai berikut. Pada gambar 1.1 bujur sangkar ABCD di bawah. Bangun ABCD berupa bujur sangkar dengan sisi c, yang di dalamnya terdapat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b. 


Gambar 1.1 Bujur Sangkar ABCD
Dengan kontruksi bangun tersebut, maka didapatkan:
Luas PQRS + 4 x luas ABQ  = luas ABCD

Dari penjelasan tersebut maka terbukti bahwa karya dari Bhaskara merupakan salah satu cara dari pembuktian teorema Pythagoras.
2.      Bukti Teorema Phytagoras dari Leonardo Da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC dan segitiga JHI yang kongruen dengan segitiga ABC. Dan dihubungkan garis-garis pada segitiga tersebut sehingga didapatkan seperti gambar 1.2 Segitiga Siku-siku ABC dan Segitiga Siku-siku JHI  berikut: 

 

 

Gambar 1.2 Segitiga Siku-siku ABC dan Segitiga Siku-siku JHI 

Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen (S,S,S) maka: 
Luas (ADGC)+luas (EDGF)           = luas (ABHI) + luas (JHBC)
Luas (ADEFGC)                            = luas (ABCJHI)
Karena, bangun ADEFGC dan bangun ABCJHI memuat 2 segitiga yang kongruen dengan sigitiga ABC, maka:
Luas (ADGC) + Luas (EDGF)            = Luas (ABHI) + Luas (JHBC)
Luas (ADEFFGC) – 2 Luas (ABC)    = Luas (ABCJHI) – 2 Luas (ABC)
Luas (ABED) + Luas (BCGF)            = Luas (ACHI)
         
                

Sumber:
http://miftasmart-key.blogspot.co.id/2011/04/pemikiran-phytagoras-2.htm
http://nafi14.blogspot.co.id/2013/01/phytagoras.html
http://s3.amazonaws.com/ppt-download/23carapembuktianteoremapythagoras

Minggu, 21 Februari 2016

PORTOFOLIO 1



STRUKTUR PEMIKIRAN PHYTAGORAS
Tri Rahmah Silviani | 15709251035
Senin, 15 Februari 2016
Ruang 102 Gedung Lama Pascasarjana.
Dosen Pengampu: Prof. Dr. Marsigit, MA

Assalamualaikum warrahmatullahi wabarakatuh
Tulisan ini bertujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Model. Mata kuliah ini mempelajari tentang struktur atau model ilmu matematika dari waktu ke waktu. Tujuan dari mata kuliah ini yaitu agar mahasiswa mampu memahami dan mengidentifikasi struktur atau model pemikiran  dari para filsuf, ilmuwan, educationist, matematikawan serta pendidik matematika. Tulisan pertama saya yaitu tentang struktur pemikiran dari filsuf serta matematikawan Phytagoras. Phytagoras berpendapat bahwa segala sesuatu yang ada dialam ini merupakan bilangan maka Ia dikenal sebagai “Bapak Bilangan”. 

Phytagoras memberikan sumbangsi pemikiran yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Phytagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah Ionia. Dua filsuf yang memberikan pengaruh terhadap pemikiran Phytagoras dan memperkenalkannya kepada ide-ide matematika yaitu Thales dan muridnya, Anaximander. Pandangan Phytagoras bahwa harmoni terjadi berkat angka. Bila segala hal adalah angka, maka segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dalam hubungan yang proporsional dan teratur. Semasa kecil, Phytagoras pernah menyusun kerikil dalam bentuk segi-tiga dengan jumlah kerikil yang berbeda namun berurutan, yaitu:


1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Dengan menjumlahkan 2 angka yang bersebelahan akan ditemukan hasil suatu bilangan yang dikuadratkan, seperti:
1 + 3 = 4 (2 x 2)
3 + 6 = 9 (3 x 3)
6 + 10 = 16 (4 x 4)
10 + 15 = 25 (5 x 5)
15 + 21 = 36 (6 x 6)
Penyusunan kerikil ini ternyata memicu terjadinya rumus Phytagoras yang sering disebut dengan teorem Phytagoras yaitu: a² + b² = c² , dimana a dan b mewakili sisi-sisi siku-sikunya dan c merupakan hipotenusanya. Teorema ini menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Pada dasarnya teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Phytagoras, namun teorema ini dikenal sebagai temuan Phytagoras karena beliaulah yang pertama membuktikan teorema ini secara matematis. Angka nol tidak dikenal dalam kamus Yunani, menggunakan angka nol berarti melanggar hukum alam bagi orang-orang Yunani. Angka nol jika dibagi dengan suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Phytagoras juga tidak dapat memecahkan problem  dari konsep matematika yaitu bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk teorema Phytagoras a² + b² = c² . Konsep ini juga menyerang sudut pandang Phytagoras dan murid-muridnya, namun dengan semangat persaudaraan konsep tersebut tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Anggapan dasar Pythagoras adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian, proporsi tanpa cacat atau rasional. Jika suatu bilangan ditulis dalam bentuk a/b maka bilangan b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana.


Phytagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1 merupakan bilangan irasional, Phytagoras memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.
Sumber:
http://miftasmart-key.blogspot.co.id/2011/04/pemikiran-phytagoras-2.htm
http://nafi14.blogspot.co.id/2013/01/phytagoras.html